Given a graph $G$ and a list assignment $L(v)$ for each vertex of $v$ of $G$. A proper $L$-list-coloring of $G$ is a function that maps every vertex to a color in $L(v)$ such that no pair of adjacent vertices have the same color. We say that a graph is list $k$-colorable when every vertex $v$ has a list of colors of size at least $k$. A $2$-distance coloring is a coloring where vertices at distance at most 2 cannot share the same color. We prove the existence of a $2$-distance list ($\Delta+2$)-coloring for planar graphs with girth at least $10$ and maximum degree $\Delta\geq 4$.

翻译：以图形 $G$和列表 分配 $L(v)$ 和 列表 $L(v) 分配 $G$ 。 正确的 $L$ 列表颜色 $G$ 是一个函数, 将每个顶点绘制为 $L(v) $ 的颜色, 这样一对相邻的顶点没有相同的颜色。 我们说, 当每个顶点 $v $ 都有至少 $k$ 的颜色列表时, 图表是 $k$ - 彩色 。 一个 $2 $ 远色的颜色是一种颜色, 最远处的顶点的顶点的顶点不能分享同一颜色 。 我们证明有 $2 $( Delta+2 $) 的远点列表, 彩色的平面图至少有 $10 美元, 最高处为$\ Delta\ geq 4 美元 。