An arrangement of $n$ curves in the plane is given. The query is a point $q$ and the goal is to find the face of the arrangement that contains $q$. A data-structure for point-location, preprocesses the curves into a data structure of polynomial size in $n$, such that the queries can be answered in time polylogarithmic in $n$. We design a data structure for solving the point location problem queries in $O(\log C(n)+\log S(n))$ time using $O(T(n)+S(n)\log(S(n)))$ preprocessing time, if a polygonal subdivision of total size $S(n)$, with cell complexity at most $C(n)$ can be computed in time $T(n)$, such that the order of the parts of the curves inside each cell has a monotone order with respect to at least one segment of the boundary of the cell. We call such a partitioning a curve-monotone polygonal subdivision.

翻译：在平面上设定了 $ 的曲线。 查询是一个点 $ 美元 。 查询的目标是找到包含 q 美元 的 安排的表面 。 点位置的数据结构, 将曲线预处理成一个以 $ 美元 表示的多面体积的数据结构, 这样查询可以用 $ 美元 的时数解答 。 我们用 $O( log C (n) log S(n) 美元) 的时间设计一个数据结构, 解决点位置问题查询, 使用 $O( T) + S(n) log( S(n) ) $ 预处理时间 。 如果一个总大小为 $ (n) 美元 的多面形小块小块, 以 $ (n) 美元 表示的单元格复杂度最多按 $ (n) 美元 计算 。 我们用 $ (n) 美元 来设计一个数据结构来解决点位置查询 问题 问询 。 我们称之为 至少 单元格 边界 的某一 段 的 单调 。 我们称之为 分区 。