在 Girth 5 的图表上滑动时针 (Token sliding on graphs of girth five)

In the Token Sliding problem we are given a graph $G$ and two independent sets $I_s$ and $I_t$ in $G$ of size $k \geq 1$. The goal is to decide whether there exists a sequence $\langle I_1, I_2, \ldots, I_\ell \rangle$ of independent sets such that for all $i \in \{1,\ldots, \ell\}$ the set $I_i$ is an independent set of size $k$, $I_1 = I_s$, $I_\ell = I_t$ and $I_i \triangle I_{i + 1} = \{u, v\} \in E(G)$. Intuitively, we view each independent set as a collection of tokens placed on the vertices of the graph. Then, the problem asks whether there exists a sequence of independent sets that transforms $I_s$ into $I_t$ where at each step we are allowed to slide one token from a vertex to a neighboring vertex. In this paper, we focus on the parameterized complexity of Token Sliding parameterized by $k$. As shown by Bartier et al., the problem is W[1]-hard on graphs of girth four or less, and the authors posed the question of whether there exists a constant $p \geq 5$ such that the problem becomes fixed-parameter tractable on graphs of girth at least $p$. We answer their question positively and prove that the problem is indeed fixed-parameter tractable on graphs of girth five or more, which establishes a full classification of the tractability of Token Sliding parameterized by the number of tokens based on the girth of the input graph.

翻译：在 Token Sliding 问题中, 我们得到一个图形 $ G$, 两套独立设置 $I_ $ 美元, 两套独立设置 $I_ 1 美元, 美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元 1 美元美元, 美元美元美元美元美元, 美元美元美元美元, 美元美元美元美元, 美元美元美元美元美元美元美元, 美元美元美元美元美元美元美元美元美元, 美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元