We show that if $f\colon S_n \to \{0,1\}$ is $\epsilon$-close to linear in $L_2$ and $\mathbb{E}[f] \leq 1/2$ then $f$ is $O(\epsilon)$-close to a union of "mostly disjoint" cosets, and moreover this is sharp: any such union is close to linear. This constitutes a sharp Friedgut-Kalai-Naor theorem for the symmetric group. Using similar techniques, we show that if $f\colon S_n \to \mathbb{R}$ is linear, $\Pr[f \notin \{0,1\}] \leq \epsilon$, and $\Pr[f = 1] \leq 1/2$, then $f$ is $O(\epsilon)$-close to a union of mostly disjoint cosets, and this is also sharp; and that if $f\colon S_n \to \mathbb{R}$ is linear and $\epsilon$-close to $\{0,1\}$ in $L_\infty$ then $f$ is $O(\epsilon)$-close in $L_\infty$ to a union of disjoint cosets.

翻译：我们显示,如果$\ cron S_n\to 0. 1 + $,$1 $,美元接近线性,以L_ 2美元和$\ mathbb{E}[f]\leq 1/2美元,那么美元就是O(\ epsilon)$, 美元接近“ 基本脱节” 组合的联盟, 而且这是尖锐的: 任何这样的联盟都接近线性。 这构成一个对称组的尖锐的 Friedgut- Kalai- Naor 理论。 使用类似的技术, 我们显示, 如果$\ S_n\ t\ mathbb{R} 美元是线性, $[f\ nonin 0. 1 美元]\leq\ epsilon$, $[fr= 1] leq 1/2 美元, 那么美元就等于O(\ flon) $, 美元是大部分不连结的联盟的美元,这也是直立的 美元; 如果 美元是 美元, 美元是 美元和 美元 美元, 美元在 美元 美元 美元 美元 美元至 美元至cloislus_ ax_ $xxxx_ $xxxxxxxx $