This paper studies the polynomial basis that generates the smallest $n$-simplex enclosing a given $n^{\text{th}}$-degree polynomial curve in $\mathbb{R}^n$. Although the Bernstein and B-Spline polynomial bases provide feasible solutions to this problem, the simplexes obtained by these bases are not the smallest possible, which leads to overly conservative results in many CAD (computer-aided design) applications. We first prove that the polynomial basis that solves this problem (MINVO basis) also solves for the $n^\text{th}$-degree polynomial curve with largest convex hull enclosed in a given $n$-simplex. Then, we present a formulation that is independent of the $n$-simplex or $n^{\text{th}}$-degree polynomial curve given. By using Sum-Of-Squares (SOS) programming, branch and bound, and moment relaxations, we obtain high-quality feasible solutions for any $n\in\mathbb{N}$, and prove (numerical) global optimality for $n=1,2,3$ and (numerical) local optimality for $n=4$. The results obtained for $n=3$ show that, for any given $3^{\text{rd}}$-degree polynomial curve in $\mathbb{R}^3$, the MINVO basis is able to obtain an enclosing simplex whose volume is $2.36$ and $254.9$ times smaller than the ones obtained by the Bernstein and B-Spline bases, respectively. When $n=7$, these ratios increase to $902.7$ and $2.997\cdot10^{21}$, respectively.

翻译：本文研究生成最小美元值的多元值基础 。 虽然 Bernstein 和 B- Spline 多元值基础为这一问题提供了可行的解决方案, 但这些基础获得的简单值并非最小值, 导致许多 CAD( 计算机辅助设计) 应用程序产生过于保守的结果 。 我们首先证明, 解决这个问题的多元值基础( MINVO 基础) 也解决了美元值( 美元值) 的美元值 。 虽然 Bernstein 和 B- Spline 多元值基础为 这个问题提供了可行的解决方案 。 虽然 Bernstein 和 B- Spline 多边基点提供了可行的解决方案, 但是, 这些基点不是$- sopexexx 或 $n_ text{ $} 美元值。 通过使用 Sum- 方程( SOS) 程序、 分支和约束, 以及瞬间放松, 我们为任何 美元值( Nin\ x% 美元值) 的硬值、 硬度 硬度 基点( $ n\ n= 美元值) 最高值、 美元值 美元值 美元值= 美元值 美元值、 美元值 美元值 美元值 美元值 美元值 美元值) 最高值( 美元值) 最高值) 、 最高值、 最高值 美元值 美元值、 美元值 美元值 美元值、 美元值、 美元值 最高值 美元、 美元值 最高值 最高值 美元、 美元、 美元、 美元、 美元值 美元值、 美元、 美元值、 美元值 美元值、 和 美元值 美元 美元 美元值 美元值 美元值 美元 美元值 美元值 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元值) 美元、 最高值、 美元、 美元、 美元、 美元 美元 美元 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 美元、 最值、美元