We study the class of first-order locally-balanced Metropolis--Hastings algorithms introduced in Livingstone & Zanella (2021). To choose a specific algorithm within the class the user must select a balancing function $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfying $g(t) = tg(1/t)$, and a noise distribution for the proposal increment. Popular choices within the class are the Metropolis-adjusted Langevin algorithm and the recently introduced Barker proposal. We first establish a universal limiting optimal acceptance rate of 57% and scaling of $n^{-1/3}$ as the dimension $n$ tends to infinity among all members of the class under mild smoothness assumptions on $g$ and when the target distribution for the algorithm is of the product form. In particular we obtain an explicit expression for the asymptotic efficiency of an arbitrary algorithm in the class, as measured by expected squared jumping distance. We then consider how to optimise this expression under various constraints. We derive an optimal choice of noise distribution for the Barker proposal, optimal choice of balancing function under a Gaussian noise distribution, and optimal choice of first-order locally-balanced algorithm among the entire class, which turns out to depend on the specific target distribution. Numerical simulations confirm our theoretical findings and in particular show that a bi-modal choice of noise distribution in the Barker proposal gives rise to a practical algorithm that is consistently more efficient than the original Gaussian version.

翻译：我们研究Livingstone & Zanella (2021年) 引入的当地平衡的大都会-哈斯廷算法等级。 要在该类别中选择一个特定的算法, 用户必须选择一个平衡函数 $g:\mathbb{R}\ to\mathbb{R}$, 满足 $g( t) = tg( 1/ t) 美元, 以及建议递增的噪音分配。 类内的大众选择是大都会调整的朗埃文算法和最近推出的巴克提议。 我们首先确定一个普遍限制57%的最佳接受率, 并按比例调整 $n ⁇ -1/3 美元。 因为美元在温和假设假设下, 当计算算法的目标分配目标为$g( g) = tg( tg) = tg( tg 1/ t) ) 时, 用户必须选择一个平衡的任意算法效率。 我们然后考虑如何在各种制约下优化这一表达方式。 我们从一个最优化的噪音分布选择中选择一个最佳选择, 在最优化的 最佳的 标准等级分配方式中, 将一个最优化的等级分配方式置于最优化的比 的等级的等级的, 在最优化的 的 的 的 等级分配方式排序排序中, 显示最优的排序的 的 的 的 的 的排序的 显示在最优的 的 等级的 等级分配 的 的 的 的 的 的 表示法 显示在最优的 的 的 的 的 的 的 的排序的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 表示法的 的 表示在最优的 。