In a recent paper, Brakensiek, Gopi and Makam introduced higher order MDS codes as a generalization of MDS codes. An order-$\ell$ MDS code, denoted by $\operatorname{MDS}(\ell)$, has the property that any $\ell$ subspaces formed from columns of its generator matrix intersect as minimally as possible. An independent work by Roth defined a different notion of higher order MDS codes as those achieving a generalized singleton bound for list-decoding. In this work, we show that these two notions of higher order MDS codes are (nearly) equivalent. We also show that generic Reed-Solomon codes are $\operatorname{MDS}(\ell)$ for all $\ell$, relying crucially on the GM-MDS theorem which shows that generator matrices of generic Reed-Solomon codes achieve any possible zero pattern. As a corollary, this implies that generic Reed-Solomon codes achieve list decoding capacity. More concretely, we show that, with high probability, a random Reed-Solomon code of rate $R$ over an exponentially large field is list decodable from radius $1-R-\epsilon$ with list size at most $\frac{1-R-\epsilon}{\epsilon}$, resolving a conjecture of Shangguan and Tamo.

翻译：在最近的一篇论文中, Brakensiek、 Gopi 和 Makam 引入了更高排序的 MDS 代码,作为 MDS 代码的通用。 由 $\ operatorname{MDS} (\ell) 表示的 命令- $\ ell$ MDS 代码, 其属性为 其发电机矩阵列中形成的任何 $ ell 的子空间, 尽可能地最小地交叉。 Roth 的一项独立工作定义了一个不同的更高排序的 MDS 代码概念, 与那些实现通用单吨码以进行列表分解码的代码。 在这项工作中, 我们显示这两个更高排序的 MDDS 代码概念是( 近近) 等值的 。 我们还显示通用 Reed- Solomon 代码是所有 $ 美元 的, 关键地依赖 GM- MDMDS 矩。 显示通用 Reed- Solomon 代码的发电机矩阵可以达到任何可能的零模式。 。 作为必然, 通用 Reed- sloveal $ R- dal ro ro ro ro ro ro ro 以 美元 以 以 美元 的任意 以 以 美元 Exil Exil Exil 的 Ral 以 的 Exill Exil Exl Exl Exl Exl 美元 的 Exli 的任意列表列表 。