For a class $\mathcal{G}$ of graphs, the problem SUBGRAPH COMPLEMENT TO $\mathcal{G}$ asks whether one can find a subset $S$ of vertices of the input graph $G$ such that complementing the subgraph induced by $S$ in $G$ results in a graph in $\mathcal{G}$. We investigate the complexity of the problem when $\mathcal{G}$ is $H$-free for $H$ being a complete graph, a star, a path, or a cycle. We obtain the following results: - When $H$ is a $K_t$ (a complete graph on $t$ vertices) for any fixed $t\geq 1$, the problem is solvable in polynomial-time. This applies even when $\mathcal{G}$ is a subclass of $K_t$-free graphs recognizable in polynomial-time, for example, the class of $(t-2)$-degenerate graphs. - When $H$ is a $K_{1,t}$ (a star graph on $t+1$ vertices), we obtain that the problem is NP-complete for every $t\geq 5$. This, along with known results, leaves only two unresolved cases - $K_{1,3}$ and $K_{1,4}$. - When $H$ is a $P_t$ (a path on $t$ vertices), we obtain that the problem is NP-complete for every $t\geq 7$, leaving behind only two unresolved cases - $P_5$ and $P_6$. - When $H$ is a $C_t$ (a cycle on $t$ vertices), we obtain that the problem is NP-complete for every $t\geq 8$, leaving behind four unresolved cases - $C_4, C_5, C_6,$ and $C_7$. Further, we prove that these hard problems do not admit subexponential-time algorithms (algorithms running in time $2^{o(|V(G)|)}$), assuming the Exponential Time Hypothesis. A simple complementation argument implies that results for $\mathcal{G}$ are applicable for $\overline{\mathcal{G}}$, thereby obtaining similar results for $H$ being the complement of a complete graph, a star, a path, or a cycle. Our results generalize two main results and resolve one open question by Fomin et al. (Algorithmica, 2020).

翻译：$7 (美元- 美元) 图表中, 问题在于 $H( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元) 。 当美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元), 问题在于 美元( 美元) 问题在于, 问题在于 美元( 美元) 问题在于, 问题在于 问题在于 美元( 美元), 问题在于 问题在于 美元( 美元), 问题在于 问题在于 美元( 美元) 问题在于, 问题在于 问题在于 美元( 美元), 问题在于 问题在于 美元( 美元) 问题在于, 问题在于 美元( 美元) 问题在于 问题在于, 美元( 美元) 问题在于 美元, 问题在于, 问题在于 美元( 美元) 美元),, 问题在于 问题在于 问题在于 问题在于, 美元, 美元 美元 美元, 美元 问题在于,, 问题在于 问题在于 问题在于, 美元 美元,,, 问题在于 美元,, 美元,, 美元 问题在于, 美元 美元 问题在于,,, 美元,,,,,,,, 美元,,,, 美元 美元,,, 问题在于 美元, 美元,,, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元 美元 美元 美元,, 美元, 美元, 问题在于 问题在于 问题在于 美元, 问题在于 问题在于 美元, 美元, 美元, 问题在于 美元, 美元,