In this paper, we show that the time complexity of monotone min-plus product of two $n\times n$ matrices is $\tilde{O}(n^{(3+\omega)/2})=\tilde{O}(n^{2.687})$, where $\omega < 2.373$ is the fast matrix multiplication exponent [Alman and Vassilevska Williams 2021]. That is, when $A$ is an arbitrary integer matrix and $B$ is either row-monotone or column-monotone with integer elements bounded by $O(n)$, computing the min-plus product $C$ where $C_{i,j}=\min_k\{A_{i,k}+B_{k,j}\}$ takes $\tilde{O}(n^{(3+\omega)/2})$ time, which greatly improves the previous time bound of $\tilde{O}(n^{(12+\omega)/5})=\tilde{O}(n^{2.875})$ [Gu, Polak, Vassilevska Williams and Xu 2021]. Then by simple reductions, this means the following problems also have $\tilde{O}(n^{(3+\omega)/2})$ time algorithms: (1) $A$ and $B$ are both bounded-difference, that is, the difference between any two adjacent entries is a constant. The previous results give time complexities of $\tilde{O}(n^{2.824})$ [Bringmann, Grandoni, Saha and Vassilevska Williams 2016] and $\tilde{O}(n^{2.779})$ [Chi, Duan and Xie 2022]. (2) $A$ is arbitrary and the columns or rows of $B$ are bounded-difference. Previous result gives time complexity of $\tilde{O}(n^{2.922})$ [Bringmann, Grandoni, Saha and Vassilevska Williams 2016]. (3) The problems reducible to these problems, such as language edit distance, RNA-folding, scored parsing problem on BD grammars. [Bringmann, Grandoni, Saha and Vassilevska Williams 2016]. Finally, we also consider the problem of min-plus convolution between two integral sequences which are monotone and bounded by $O(n)$, and achieve a running time upper bound of $\tilde{O}(n^{1.5})$. Previously, this task requires running time $\tilde{O}(n^{(9+\sqrt{177})/12}) = O(n^{1.859})$ [Chan and Lewenstein 2015].

翻译：在本文中, 我们显示, 单项 0. 733美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 3 773美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 4美元 3美元 3美元 4美元 3美元 3美元 3美元 4美元 3美元 3美元 3美元 3美元 3美元 4美元 3美元 3美元 3美元 3美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 3美元 4美元 3美元 3美元 3美元 3美元 4美元 3美元 3美元 4美元 4美元 4美元 3美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4美元 4 4 4美元 4美元 4美元 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4