For a graph $F$, a graph $G$ is \emph{$F$-free} if it does not contain an induced subgraph isomorphic to $F$. For two graphs $G$ and $H$, an \emph{$H$-coloring} of $G$ is a mapping $f:V(G)\rightarrow V(H)$ such that for every edge $uv\in E(G)$ it holds that $f(u)f(v)\in E(H)$. We are interested in the complexity of the problem $H$-{\sc Coloring}, which asks for the existence of an $H$-coloring of an input graph $G$. In particular, we consider $H$-{\sc Coloring} of $F$-free graphs, where $F$ is a fixed graph and $H$ is an odd cycle of length at least 5. This problem is closely related to the well known open problem of determining the complexity of 3-{\sc Coloring} of $P_t$-free graphs. We show that for every odd $k \geq 5$ the $C_k$-{\sc Coloring} problem, even in the list variant, can be solved in polynomial time in $P_9$-free graphs. The algorithm extends for the case of list version of $C_k$-{\sc Coloring}, where $k$ is an even number of length at least 10. On the other hand, we prove that if some component of $F$ is not a subgraph of a subdividecd claw, then the following problems are NP-complete in $F$-free graphs: a)extension version of $C_k$-{\sc Coloring} for every odd $k \geq 5$, b) list version of $C_k$-{\sc Coloring} for every even $k \geq 6$.

翻译：$F $ g$ 如果它不包含导出以美元计价至美元。 对于两张G$和$H$, 一个G$是映射$f:V(G)\rightrow V(H) 美元,因此,对于E(G) 美元中的每一端,美元是f(u)f(v)\in E(H)美元。我们感兴趣的是问题的复杂性 $H$-美元至美元。对于两张G$和$H$,一个G$的 美元=美元=美元,一个G$(G) 美元- 美元- 美元- 美元- 美元(F) 美元(F) 美元(F) 美元(F) 美元(F) 美元(F) 美元(美元) 美元(F) 美元(F) 美元(美元) 美元(F) 美元(x(C) 美元(美元) 美元(c) 美元(c) 美元(美元(美元) 美元(美元) 美元(c) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元(美元(美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元)(美元) (美元)(美元) (美元) (</s>